מדריכי פיזיקה

יחסות פרטית

מדריך מעמיק לתורת היחסות הפרטית של איינשטיין: הפוסטולטים, התארכות הזמן, כיווץ האורך, טרנספורמציות לורנץ, מרחב-זמן, ואנרגיה ותנע רלטיביסטיים.

נושאי המדריך

  1. 01מבוא: מהי תורת היחסות
  2. 02שני הפוסטולטים
  3. 03התארכות זמן
  4. 04כיווץ אורך
  5. 05יחסיות הסימולטניות
  6. 06טרנספורמציות לורנץ
  7. 07חיבור מהירויות
  8. 08אינטרוול המרחב-זמן
  9. 09דיאגרמות מינקובסקי
  10. 10תנע ואנרגיה רלטיביסטיים
  11. 11דוגמאות מחושבות לסיכום

01מבוא: מהי תורת היחסות

תורת היחסות הפרטית, שגיבש אלברט איינשטיין ב-1905, משנה את האופן שבו אנו מבינים זמן, מרחב, מסה ואנרגיה. היא נבנית על שני פוסטולטים פשוטים, ומהם נובעים כל שאר המסקנות: אין זמן מוחלט ואין מרחב מוחלט.

הרעיון המרכזי הוא שהחוקים זהים בכל מערכת אינרציאלית (מערכת הנעה במהירות קבועה), ושלמהירות האור יש תפקיד ייחודי ואוניברסלי. מהנחות אלה נובעות תוצאות מפתיעות כמו התארכות הזמן, כיווץ האורך ויחסיות הסימולטניות - תוצאות שנמדדו בניסוי פעמים רבות.

02שני הפוסטולטים

  • פוסטולט היחסות: חוקי הפיזיקה זהים בכל מערכות הייחוס האינרציאליות. אין דרך למדוד 'מהירות מוחלטת' או להבחין בין מערכת הנחה לבין מערכת הנעה במהירות קבועה.
  • פוסטולט קביעות מהירות האור: מהירות האור בריק היא זהה בכל מערכות הייחוס האינרציאליות, ללא תלות בתנועת מקור האור או של הצופה. הערך הוא c = 299,792,458 מ'/שב'.

מפוסטולט קביעות מהירות האור נובע שמדידת זמן ומרחב אינה 'מוחלטת' אלא תלויה בצופה. שני צופים שנעים זה ביחס לזה ימדדו אורכים ומרווחי זמן שונים - וההבדל מתואר דרך מקדם לורנץ.

γ = 1 / √(1 − v² / c²) , β = v / c ⇒ γ = 1 / √(1 − β²)

03התארכות זמן

התארכות הזמן אומרת: שעון שנע ביחס לצופה 'רץ' לאט יותר. זמן שנמדד במערכת שבה השעון במנוחה נקרא הזמן העצמי (Δt₀). צופה שנע ביחס לשעון מודד מרווח זמן ארוך יותר (Δt).

Δt = γ Δt₀ = Δt₀ / √(1 − v²/c²)

גורם γ תמיד גדול או שווה ל-1. ככל שהמהירות מתקרבת למהירות האור, γ הולך וגדל והזמן 'נמתח' ללא גבול. זה הבסיס ל'פרדוקס התאומים' ולתנועת המזונים האטמוספריים.

דוגמה: התארכות זמן במהירות 0.6c

  • מחשבים γ = 1 / √(1 − 0.36) = 1 / 0.8 = 1.25.
  • אם במערכת השעון עוברים 8 שניות, צופה חיצוני מודד 8 × 1.25 = 10 שניות.
  • רקטה שנעה במהירות 0.6c חיה 'חיים קצרים' יותר בעיני הצופה הנייח.

04כיווץ אורך

אורך של עצם המתכווץ בכיוון התנועה. עצם במנוחה נקרא אורכו העצמי (L₀). צופה שנע ביחס לעצם מודד אורך קצר יותר (L) - אבל רק בכיוון התנועה, לא בניצב לו.

L = L₀ / γ = L₀ √(1 − v²/c²)

דוגמה: חללית באורך 100 מטר

  • חללית שאורכה העצמי 100 מ' טסה במהירות 0.8c, כך ש-γ = 5/3.
  • האורך שנמדד מכדור הארץ הוא L = 100 / (5/3) = 60 מטר.
  • בניצב לכיוון התנועה, האורך (למשל גובה החללית) נשאר ללא שינוי.

05יחסיות הסימולטניות

שני אירועים שהם בו-זמניים (סימולטניים) במערכת אחת אינם בהכרח בו-זמניים במערכת אחרת הנעה ביחס אליה. ל'בו-זמניות' אין משמעות מוחלטת - היא תלויה במערכת הייחוס.

דוגמה קלאסית: קרונייה נעה ולפניה ולאחריה פגיעות ברקים. צופה במנוחה באמצע הקרונייה מקבל את שני הבזקי האור יחד, אבל צופה שבתוך הקרונייה הנעים מגיעים אליו הבזקים בזמנים שונים. שניהם מדווחים נכון מפינות המבט שלהם.

הקפדה על סדר הסיבתיות נשמרת: אירוע אחד אינו יכול לגרום לאירוע אחר לפני שהשפעתו הגיעה אליו במהירות שאינה עולה על c.

06טרנספורמציות לורנץ

טרנספורמציות לורנץ מקשרות בין הקואורדינטות (x, t) במערכת מנוחה לבין (x′, t′) במערכת הנעה במהירות v בכיוון x. הן מחליפות את טרנספורמציות גליליאו ומכלילות את התארכות הזמן וכיווץ האורך.

x′ = γ (x − v t)
t′ = γ (t − v x / c²)

הטרנספורמציה ההפוכה מתקבלת על ידי החלפת v ב-(-v), שכן שתי המערכות שקולות זו לזו. באורכים ובמהירויות נמוכות בהרבה מ-c, הטרנספורמציות מצטמצמות לטרנספורמציות של גליליאו, כפי שהן אמורות במגבלת המהירויות הנמוכות.

07חיבור מהירויות

חיבור פשוט של מהירויות (u = u′ + v) אינו נכון במהירויות גבוהות. חוק חיבור המהירויות הרלטיביסטי מבטיח שמהירויות מתחלפות לעולם אינן עולות על מהירות האור.

u = (u′ + v) / (1 + u′ v / c²)

דוגמה: שתי חלליות בשני כיוונים

  • שתי חלליות נעות לכיוונים מנוגדים ביחס לכדור הארץ, כל אחת במהירות 0.6c.
  • בחיבור ניוטוני מהירות ההתקרבות הייתה 1.2c - מהירות שגדולה ממהירות האור.
  • בחיבור רלטיביסטי: u = (0.6c + 0.6c) / (1 + 0.36) = 1.2c / 1.36 ≈ 0.882c.
  • המהירות היחסית קטנה תמיד מ-c, וכך נשמר פוסטולט קביעות מהירות האור.

08אינטרוול המרחב-זמן

האינטרוול (Δs²) מאחד מרחב וזמן לגודל אחד שהוא אינווריאנטי: כלומר, הוא נותר זהה בכל מערכות הייחוס, גם אם רכיבי המרחב והזמן משתנים בנפרד.

Δs² = c² Δt² − Δx² − Δy² − Δz²
  • Δs² > 0: אינטרוול דמוי-זמן - ניתן לחבר בין האירועים בקו שמהירויותיו קטנות מ-c; יש להם יחס סיבה ותוצאה.
  • Δs² = 0: אינטרוול דמוי-אור - האירועים נמצאים על קונוס האור ומחובריהם נעים במהירות c.
  • Δs² < 0: אינטרוול דמוי-מרחב - אירועים שאינם יכולים להשפיע זה על זה; סדרם בזמן תלוי במערכת הייחוס.

09דיאגרמות מינקובסקי

דיאגרמת מינקובסקי מציגה אירועים במישור שבו הציר האנכי הוא זמן ct והציר האופקי הוא מרחב x. קונוס האור נוצר משני קווים בזווית 45° היוצאים מהאירוע, ומחלק את הדיאגרמה לאזורי עבר, עתיד ואזורים מחוץ לקונוס.

בתוך הקונוס נמצאים כל האירועים שיכולים להשפיע על האירוע המרכזי (העבר) או להיות מושפעים ממנו (העתיד). מחוץ לקונוס נמצאים אירועים דמויי-מרחב. מערכת בקו ישר דרך נקודת האפס שנזחה בזוויות שונות מייצגת את צירי x′ ו-ct′ של צופה נע.

הדיאגרמה ממחישה מדוע אין 'עכשיו' מוחלט: קו 'בו-זמניות' של צופה אחד (קו אופקי) אינו חופף לקו הבו-זמניות של צופה נע (קו משופע). שני צופים חותכים את המרחב-זמן ל'שכבות עכשיו' שונות.

10תנע ואנרגיה רלטיביסטיים

כדי לשמר את חוקי השימור בכל מערכת אינרציאלית, יש לכלול את מקדם לורנץ בתנע ובאנרגיה. התנע הרלטיביסטי והאנרגיה הכוללת ניתנים כך:

p = γ m v
E = γ m c²

אנרגיית המנוחה - האנרגיה הטמונה בעצם במנוחה - היא התפורסמה הגדולה ביותר של התורה:

E₀ = m c²

הקשר הכללי בין אנרגיה, תנע ומסה מנוחה משלב את שניהם לגודל אינווריאנטי אחד:

E² = (p c)² + (m c²)²

עבור חלקיק במנוחה (p = 0) מתקבלת E = m c². עבור חלקיק חסר מסה, כמו הפוטון (m = 0), מתקבלת E = p c. האנרגיה הקינטית הרלטיביסטית היא ההפרש בין האנרגיה הכוללת לאנרגיית המנוחה:

K = E − E₀ = (γ − 1) m c²

דוגמה: האנרגיה של 1 ק"ג מסה

  • אנרגיית המנוחה של 1 ק"ג = 1 × (3 × 10⁸)² = 9 × 10¹⁶ ג'אול.
  • זה שווה בערך ל-2.5 × 10¹⁰ קוט"ש (קילוואט-שעה) - די להניע עיר גדולה במשך תקופה משמעותית.
  • זו המשמעות של שקילות המסה והאנרגיה: כמות זעירה של חומר מכילה אנרגיה אדירה.

דוגמה: אלקטרון הנע במהירות 0.6c

  • מסת מנוחת האלקטרון מקבילה ל-m c² = 0.511 MeV (מיליאון אלקטרון-וולט).
  • במהירות 0.6c מתקבל γ = 1.25, ולכן האנרגיה הכוללת E = 1.25 × 0.511 ≈ 0.639 MeV.
  • האנרגיה הקינטית K = (γ−1) m c² = 0.25 × 0.511 ≈ 0.128 MeV.
  • הן האנרגיה והן התנע עולים ללא גבול ככל שחלקיק מתקרב למהירות האור.

11דוגמאות מחושבות לסיכום

דוגמה: המזון האטמוספרי (μ meson)

  • מזון נוצר בגובה 10 ק"מ ויורד במהירות 0.998c, עם אורך חיים עצמי של τ₀ = 2.2 × 10⁻⁶ שניות.
  • מקדם לורנץ: γ = 1 / √(1 − 0.996) ≈ 15.8.
  • אורך החיים במערכת הקרקע: Δt = γ τ₀ ≈ 15.8 × 2.2 × 10⁻⁶ ≈ 3.5 × 10⁻⁵ שניות.
  • המרחק שהמזון עובר מלמעלה לקרקע: d = v Δt ≈ 0.998 × 3 × 10⁸ × 3.5 × 10⁻⁵ ≈ 10.4 ק"מ.
  • גם בלי 'אריכות חיים' במנוחה, המזון מגיע לקרקע הודות להתארכות הזמן.

דוגמה: מסע התאומים האיטי

  • תאום יוצא למסע הלוך ושוב במהירות 0.6c, וחוזר אחרי ש-20 שנה עברו בכדור הארץ.
  • γ = 1.25, ולכן הזמן העצמי של הנוסע הוא 20 / 1.25 = 16 שנה.
  • בשובו, הנוסע צעיר ב-4 שנים מאחיו שנשאר על כדור הארץ.
  • הפער אינו סתירה ליחסיות: מסלול הנוסע אינו קו ישר במרחב-זמן, ולכן הוא 'קצר יותר' בגאודזי.

דוגמה: אנרגיה עצומה ממציאה

  • בכור גרעיני מתפרקת מעט מסה לאנרגיה. למשל, 1 גרם של אורניום-235 מלא נותן אנרגיה של m c² = 10⁻³ × (3 × 10⁸)² = 9 × 10¹³ ג'אול.
  • זה בערך פי 2.5 מיליון מהאנרגיה של שרפה מלאה של 1 ק"ג פחם, וזהו המקור לשימוש המעשי של E = m c².